《土力學》教材中關于一維固結微分方程推導的討論

《土力學》教材中關于一維固結微分方程推導的討論

李廣信

陳津民先生在2004年第4期的《巖土工程界》中發表了一篇“錯了八次正負號的正確解——一維滲流固結微分方程推導及其解”。指出有的《土力學》教材在這個方程推導中，正負號錯了八次，最后居然又回到正確的解答?？赡苁且阎苏_的解，然后“湊”出來的（有趣的是，凡是正負號錯誤都是偶次。）。最近我在修訂我校的《土力學》教材第三版，翻閱了十幾本國內外的教材，發現在這個課題中罕有概念清楚，推導明白正確的。最近出版的河海大學第三版《土力學》中其推導是清楚和正確的，十分難得。

土力學的“土”很為精于數學力學者所詬病與腹誹，這我們可以用學科特點來搪塞。但既然忝列于“力學”，基本的游戲規則還是要遵守的。連正負號都總是錯誤，那就是恥辱了。此文針對各種教材中的幾種情況與方法分別進行了推導與分析，但愿對于講授和學習《土力學》的師生們有所裨益。已是耄耋之年，經常犯糊涂而被老伴申斥，謬誤之處敬請指教。

（一）方法1(坐標z和流向q均以向上為正)

這種方法國內教材比較少見，國外的教材倒是常有，但最后的邊界、初始條件與微分方程的形式往往是錯的。

微分方程的推導

圖1

在圖1所示的飽和地基土中深度H-z處取一單位面積的微單元體，令dx=1，dy=1，厚度為dz，見圖1(b)。圖中定義坐標z以向上為正，流速流量向量也都以向上為正。

（1）微單元流出水量分析

在圖1(b)中，

流入流量：q

流出流量：

則在dt時段內凈流出水量：

由于在數值上q=v，根據達西定律，則

（注：流速向上為正，而孔壓u向上是減少的）

式中，h為土層中各點超靜孔壓的壓力水頭，

代入式(a)，

（2）微單元體的體積壓縮量分析

設微單元體的體積為V, 在dt時段內微單元的體積壓縮量為正，表示為dV

按照壓縮系數的定義：

由于p為常數，所以則式（f）可寫為：

將式(g)代入式(e)

(3) 在dt時段內微單元凈流出水量等于其體積壓縮量dV

根據即（d）等于式（i），則

即可表示為：

其中

     稱為固結系數，常用的單位有等.

式(2)是描述在滲流固結過程中，超靜孔壓時空分布的微分方程，其中與成正比，而表示孔壓隨時間的變化率，所以可見固結系數是反映土體中孔壓變化速率的參數。

微分方程的解析解

式(2) 一般稱為一維滲流固結微分方程，可以根據不同的初始條件和邊界條件求得它的特解。對于圖1所示的瞬時加載情況：

傅里葉級數可求得上述邊界條件和初始條件下的解答如下：

式中：

m——正奇數（1.3.5......）；

e——自然對數底數；

H——豎向排水的最長距離，單面排水時，等于土層厚度；雙面排水時等于土層厚度之半；

     ——無量綱的時間因數，按下式計算：

在上述的邊界條件下，微分方程的解析解式（6）具有如下特點：

（1）各項正弦函數值只含自變量z，表明孔壓在空間上的分布按三角函數分布；

（2）各項指數函數中只含自變量t，并且t前面的系數為負值，表明孔壓在時間上按照指數函數衰減；

（3）隨著m的增加，后面各項的影響急劇減小。

（二）方法2(坐標z向下，流向q向上為正）

這種形式與方法是國內教材最常用的，由于我國的教材基本靠“抄”，所以問題和錯誤也有很大的相似度。

微分方程的建立

圖2

注：這種推導坐標z是以向下為正，以地面為0點。但是流速v,流量q都以真實方向為正（向上）；體積也以壓縮為正。優點是符合實際工況、直觀，缺點是要時刻注意正負號。由于方向相反，推導中應十分謹慎。

（1）微單元流出水量分析

見圖2，

流入的流量：q

流出的流量：

(注：這里流出流量增量是正的，但q沿著z向下是遞減的)

在dt時段內凈流出水量

（由于流速q向上為正，而向下則是正的，不加負號。）根據式（b），

（注：這里的q,v和水力坡降i都是隨著z增加而減少的）

將(c)代入(a)

（2）微單元的體積壓縮dV分析

以體積壓縮為正。設dt時段的體積壓縮量為dV，

這里的dz是沒有方向的長度，按照式(4-11)壓縮系數的定義：

由于p為常數，所以則式（f）可寫為：

將式(g)代入式(e)

（3）在dt時段內微單元凈流出水量等于其體積壓縮量dV

根據即（d）等于式（i），則

即可表示為：

（三）方法3(坐標z與流向q向下為正）

這是清華大學《土力學》教材所設的條件，抱歉的是正負號錯了兩次。

圖3

(注：這種推導坐標z是以向下為正，以地面為0點。但是流速v,流量q也都以向下正；體積以壓縮為正。但由于方向與真實流向相反，結果是步步陷阱，推導中應步步謹慎。)

(1) 微單元流出水量分析

見圖3，盡管流向以向下為正，但微單元中水的流向真實流向的流量（速）是負的。

流出的流量：-q

流入的流量：-(q+dq)=-q-dq

在dt時段內凈流出水量

(注意，這里的是流出水量，是正值，是從微單元流向地面方向（上）的，所以)

(這里流出流水是正的，但q沿著z向下是遞減的，即)

（由于流速向下為正，而向下則是正的，假設水往高處流，i是水力坡降，在這里是負的。）

根據式（b），

（這里的q,v和水力坡降i都是隨著z增加而減少的）

將(c)代入(a)

（2）微單元的體積壓縮dV分析

以體積壓縮為正。設dt時段的體積壓縮量為dV，是正值，而de是負值：

這里的dz是沒有方向的長度，按照式(4-11)壓縮系數的定義：

由于p為常數，所以則式（f）可寫為：

將式(g)代入式(e)

(3) 在dt時段內微單元凈流出水量等于其體積壓縮量dV

根據即（d）等于式（i），則

即可表示為：

這里的正與負，涉及方向的正負，一般在圖中標注的就被認為是規定的正方向；也有應力、應變、體積的壓拉（脹）的正負規定，由于土力學中，以壓為正已經成為共識，所以要在推導中講清；還有就是增減的正負，它往往與方向正負規定有關。

這種推導的正確與否與概念是否清楚有關，應清楚真實水流是向上的，向上壓力是遞減的，流量是遞增的。脫離了基本概念，企圖用純數學推導是會脫離實際而犯錯誤的。

編教材不是只靠抄，名詞概念要去翻閱大量資料，要有自己的觀點；公式理論要自己推導，別人的東西可能是錯的；習題例題要自己親自去計算；圖表要校對要改進。以其昏昏，使人昭昭是會誤人子弟的。所謂“師德”“學術倫理”即使如此。